Pera Güzel Sanatlar Lisesinden ve Haliç Üniversitesi'nin tiyatro bölümünden mezun olan Aslı Enver kariyerinin ilk başında TRT de yayınlanan bir sitcomda 2 dakikalık bir rol aldıktan sonra Ayna adlı kısa filmde oynamıştır.
Kanal D'de yayınlanan Kavak Yelleri adlı gençlik dizisi ile Mine Ergün karakterini canlandırarak çıkış yapan Aslı Enver Hayat Bilgisi ve Suskunlar dizilerinde de yer almıştır. Sonrasında D Yapım'ın Kanal D 2013 sezonu için hazırlamış olduğu Kayıp dizisinde Özlem Albayrak karakterini canlandıran oyuncu; Bana Artık Hicran De adlı dizide başrol oyuncusu olarak rol almıştır.
2015 yılında Mutlu Ol Yeter dizisiyle başrol oyunculuğunu devam eden ve 2015 yılından bu yana Dolunay Soysert'le oynamış olduğu Personel oyununda Emma’yı canlandırmıştır.
13 Temmuz 2012'de Birkan Sokullu'yla evlenmiştir. 27 Ağustos 2015 tarihinde avukatı aracılığıyla açıklama yapmış ve boşandığını duyurmuştur. Dolunay Soysert, Nilay Sorgüven gibi isimlerle yakın arkadaştır.
2015 yılında çekilen Kardeşim Benim' de Murat Boz'la yakınlaşmasının ardından ilişkilerinin başladığını duyurdular.
